MatHammer 40k: Físico Teórico xD

Muy buenas,

Aquí Juan, con un tema, que aquí nos viene grande, pero por ello mismo hemos pedido la ayuda y colaboración de un Carlos, un amigo y físico muy listo, que conozco desde finales de 5ª edición o principios de 6ª.

En más de una vez me ha corregido y explicado cuando lloraba por mi mano rota que rompía la estadística, la media, etc., y nunca le he hecho caso, hasta tal punto de pedirle que colabore conmigo, otro colaborador, para sacar este articulo.

Y aquí os lo dejo, a ver quien es capaz de leérselo entero, pues yo no he sido xD

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MathHammer y otros wargames

Los fans de los wargames y en particular de Warhammer lo somos por muchos motivos: a algunos les seduce la narrativa representada por impresionantes recreaciones a escala de sus soldaditos históricos o de ficción favoritos, a otros la parte artística de pintar, modelar o incluso crear las miniaturas y escenarios desde cero y a otros les fascina el elaborado gameplay. En este artículo, a petición de mi esclavo de la oscuridad favorito, comentaré algunos detalles en los que se basan las mecánicas del juego: la estadística y probabilidad tras las tiradas de d6 que deciden la vida y la muerte de nuestros guerreros de plástico.

El azar, la probabilidad, números grandes y la falacia del jugador

Siempre que tiramos un dado, podríamos calcular el resultado final gracias a la física: si conocemos exactamente la fuerza con la que lo impulsamos, la dirección del impulso, su altura respecto al tablero, su masa, su tamaño, la fricción del aire, las colisiones que tendrá en el tablero… sería un resultado determinista. Sin embargo, no es práctico. Para ello, usamos la estadística y la probabilidad.

Un dado de 6 caras tiene 6 posibilidades de lanzamiento, que son los resultados del “1” al “6”. Un dado ideal de 6 caras es el que tras infinitos lanzamientos, se ha obtenido la misma proporción de resultados “1”, “2”, “3”, “4”, “5” y “6”, es decir, la probabilidad de cualquier resultado es 1/6 = 0.1666666…Aquí, el adjetivo infinito es importante. Si lanzamos 10 dados de 6 caras seguidos, podemos tener como resultado, por ejemplo: (5-5-3-3-3-3-5-1-4-2). Es decir, 1 resultado de “1”, 1 de “2”, 4 de “3”, 1 de “4”, 2 de “5” y ninguno de “6”. Si obviamos el infinitode más arriba, podríamos pensar que la probabilidad de sacar 3 en este dado es 4/6 ¡Error! El resultado de más arriba no es más que uno de los posibles, la probabilidad de obtener cualquier resultado sigue siendo 1/6. Esta es la ley de números grandes. Si lanzamos 1000 veces el dado, obtendremos unos 166 lanzamientos de cada resultado (aproximadamente, ya que 1000 no es infinito). Otro error importante es suponer que, como no hemos sacado un 6 en las diez tiradas de más arriba, será más fácil conseguirlo en las siguientes veinte. ¡Error! En la siguientes tiradas, la probabilidad no ha cambiado, podremos tener una buena racha de 10 “6” o de 10 “1” (aunque esto sea increíblemente improbable). A esto último se le conoce como la falacia del jugador y es resultado del azar.

Podéis ver vosotros mismos fácilmente cómo funciona el lanzamiento de todos los d6 que queráis con unos conocimientos mínimos de programación, os dejo un programa que lanza los d6 que queráis. Os dejo el archivo y el pantallazo,podéis ejecutarlo sin instalar nada en la web: https://repl.it/repls/BisqueSurprisedRam Como resultado, para 10 tiradas y 10000 tiradas. Podéis observar que el azar es importante cuando hay pocas tiradas y poco importante cuando hay muchas.

Probabilidad multiplicativa

Cada lanzamiento de d6 es independiente del anterior. Obviamente, ahorramos tiempo lanzando varios d6 al mismo tiempo, pero su comportamiento aleatorio no es distinto de si los lanzamos uno a uno (alerta: el comportamiento de tu oponente sí podría cambiar para arrancarte la cabeza). Además, lanzamos dados para atacar, herir, salvación,… donde las salvaciones se hacen en función de las heridas y las heridas en función de los ataques con éxito.

Cuando hay sucesos que se consideran estadísticamente independientes, la probabilidad de que tras el primero ocurra el segundo, no es más que la multiplicación de probabilidades. Por ejemplo, en w40k, nuestros 10 marines espaciales favoritos disparan sus rifles a 10 orkos con akribillador que están a 18’. Con el datasheet en mano, los marines impactan con resultados de 3+, hieren a los orkos con 4+ y los orkos pueden salvarse milagrosamente con 6+. El resultado esperado es: impactar 4/6, herir 3/6, salvarse (para los orkos) 1/6 es decir, de los heridos mueren 5/6. La probabilidad de que un marine hiera mortalmente un orko es:

4/6*3/6*5/6 = 0.277…

Este numerito nos viene a decir, que si disparásemos en vez de 10 marines, 1 millón de marines, por la gloria del emperador, morirían unos 277777 orkos.

Y al revés? los 10 orkos con akribillador impactan a 5+, hieren a los marines a 4+ y estos se salvan a 3+ (es decir, mueren a 5+):

2*2/6*3/6*2/6 = 2*0.055… = 0.111…

Es decir, su potencia de fuego anti-marine es peor que la marine anti-orka. Con la ley de números grandes en mente nos podríamos plantear: ¿qué resultado es más fiable?. Si tuviese que apostar, es más fácil conseguir en el tablero de juego la estadística orkoide, por el sencillo hecho de que habitualmente componen unidades de mayor tamaño que los marines: 10 marines harán una media de 2.77 bajas orkas cada vez que disparen a más de 12’ y 5.55 cuando lo hagan a menos de 12’, con resultados más dispersos (a veces matarán 1, 2, 4,… en vez de 2.77), y los orkos serán más fiables: ¡a pesar de tener menor puntería, es más fácil acertar el resultado porque sencillamente tirarán más dados!

En el ejemplo 2, se simula este evento (10 marines vs 10 orkos, con un único disparo por orko) muchas veces.

Como regla, la ley de números grandes favorece la predicción determinista de los ejércitos tipo horda (o armas que disparan muchas veces) y desfavorece a las unidades y ejércitos de élite, que están más influenciados por el azar.

Repeticiones de tirada y sumas de dados sin y con repetición

También es habitual que podamos repetir dados (por ejemplo, los resultados de “1”) o que tengamos que sumar dados (por ejemplo, 2d6).

Para calcular probabilidades con repetición de tirada, sumamos las probabilidades por separado de a) conseguir éxito sin repetición y b) conseguir éxito con la repetición. Por ejemplo, si un marine impacta a 3+ repitiendo “1”, la probabilidad de impactar es:

Probabilidad de impactar sacando “3+” + Probabilidad de impactar fallando con un “1” que repito: 4/6 + 2/6 * 1/2 * 4/6 = 7/9.

4/6 es la probabilidad de impacto

2/6 es la probabilidad de un fallo

1/2 es la probabilidad de que el fallo sea un “1” que puedo repetir

También podemos pensar en que la repetición de los “1” equivale a lanzar 2 dados de 6 caras, digamos uno rojo y otro verde. Cuando el rojo tiene un resultado de 3+, impactamos sin mirar el verde. Cuando el resultado es un “2”, fallamos y cuando es un “1” miramos el resultado del verde: si este es 3+, también acertamos. Podemos contar con los dedos estas posibilidades (sombreadas en la tabla):

11	21	31	41	51	61
12	22	32	42	52	62
13	23	33	43	53	63
14	24	34	44	54	64
15	25	35	45	55	65
16	26	36	46	56	66

Son un total de 28 de 36 posibles, por lo que la probabilidad es efectivamente 28/36 = 7/9. ¡Si repitiésemos cualquier resultado y no sólo los de “1”, sería mucho mejor (de hecho, “ganaríamos” un punto de atributo!

Éxito	%	% repitiendo “1”	% repitiendo cualquiera
2+	83.33	97.22	97.22
3+	66.66	77.77	88.88
4+	50.00	58.33	75.00
5+	33.33	38.88	55.55
6+	16.66	19.44	30.55

Repetir los “1” equivale a tirar 1/6 más de dados en cualquier tirada. Es decir, estamos mejorando el rendimiento de la tirada en un 16.66%. Dicho de otra manera, esos 10 marines que repiten “1s” están disparando como si fuesen 11.6 ¡miniaturas gratis!

Además, si repitiesen “1” para herir, herirían como si fuesen 10*(1+1/6)² = 13.61. 

¡Gloria al Emperador!

¿Y las sumas de dados? Aquí empieza a complicarse el contaje. Por ejemplo, para asaltar usamos 2d6 y sumamos las caras, que nos da el movimiento de carga en pulgadas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un cierto resultado? Por ejemplo, si queremos sacar un 12, sólo nos vale la combinación (6,6), con una probabilidad 1/36. Comparte probabilidad con una pifia de 2 pulgadas (1,1). Para un 11, necesitaremos (5,6) o (6,5), el mismo número de combinaciones que conducen a un miserable 3 – (1,2) o (2,1) -, las dos con probabilidad 2/36.

11	21	31	41	51	61
12	22	32	42	52	62
13	23	33	43	53	63
14	24	34	44	54	64
15	25	35	45	55	65
16	26	36	46	56	66

La combinación que más repite la suma es la que resulta en 7. Este es el valor de distancia más probable, con una probabilidad 6/36 = 0.166….Lo podríamos calcular como:

Necesito sumar “x”. Entonces, en el primer dado necesito sacar al menos “x-1”. Por ejemplo, si necesito un “5” exacto en la suma de los 2d6, necesito que en el primer dado haya un resultado como mucho igual a “4” por si en el segundo obtengo un “1”. Entonces, la probabilidad del primer dado es 4/6. Como para cada uno de los resultados (1,2,3,4) del primer dado sólo hay uno en el segundo dado con el que la suma sea exactamente “5” (4,3,2,1), la probabilidad es 4/6*1/6 = 4/36. ¿Y si queremos tener “5+”? Fácil: La probabilidad es la de tener un “5”, más la de “6”, … hasta “12”:

(4+5+6+5+4+3+2+1)/36 = 30/36 = 0.8333

De nuevo, si repitiésemos infinitas veces la carga, llegaríamos un 83.33% de las veces.Para cualquier resultado:

2+	3+	4+	5+	6+	7+	8+	9+	10+	11+	12+
100%	97.22%	91.66%	83.33%	72.22%	58.33%	41.66%	27.77%	16.66%	8.33%	2.77%

¿Y cómo afectan las repeticiones a los movimientos de carga? De forma muy distinta a las repeticiones normales de tirada (¡cuidado con el contaje de dados, admito correcciones de jugadores avispados!) Imaginemos que necesitamos un milagroso 12 en 2d6, con una unidad capaz de repetir los “1” en cualquiera de los dados. Las combinaciones que nos llevan al éxito son (6,6) y las repeticiones de (1,6),(6,1) y (1,1) que conducen al (6,6) tras repetición:

11	21	31	41	51	61
12	22	32	42	52	62
13	23	33	43	53	63
14	24	34	44	54	64
15	25	35	45	55	65
16	26	36	46	56	66

(6,6) tiene una probabilidad 1/36

(1,6) tiene una probabilidad 1/36 y repetimos el “1” para 1/6 de tener un “6”

(6,1) es lo mismo que (1,6)

(1,1) tiene una remota posibilidad de 1/36*1/36 de pasar a (6,6) por repetición

El resultado es 1/36+2*1/36*1/6+1/36*1/36 = 0.0378…

¿Y si podemos repetir uno de los dados? Podemos tener éxito con (6,6) o con cualquier resultado (6,x),(x,6) o (x,x) que repita en (6,6):

11	21	31	41	51	61
12	22	32	42	52	62
13	23	33	43	53	63
14	24	34	44	54	64
15	25	35	45	55	65
16	26	36	46	56	66

(6,x) tiene una probabilidad 5/36 (ya hemos contado aparte (6,6)), y “x” repite en “6” con probabilidad 1/6.

El resto de (x,x) tiene una probabilidad 25/36, y repite en (6,6) con probabilidad 1/36.El resultado es:

1/36+2*5/36*1/6+25/36*1/36 = 1/36 (1+2*5/6+25/36) = 0.0933 ¡Casi  un 10%!

11	21	31	41	51	61
12	22	32	42	52	62
13	23	33	43	53	63
14	24	34	44	54	64
15	25	35	45	55	65
16	26	36	46	56	66

También podemos calcular también la mejora de rendimiento repitiendo dados de la probabilidad de alcanzar la ansiada distancia de carga de 7+ pulgadas. De base partimos con 21/36=0.5833, que es la posibilidad sin repetición. Además, si obtenemos un resultado por encima de la diagonal (1,6) a (6,1) siempre podemos repetir algún dado para llevarnos a la diagonal: por ejemplo si hemos obtenido un (1,3) basta con que repitamos el “1” y consigamos un “3+” o que repitiendo el “3” obtengamos “6”.

La probabilidad de obtener 7+ repitiendo el resultado (1,1) podemos repetir un dado cualquiera para ir a (1,6) o (6,1), o bien repetir los dos para obtener un resultado cualquiera de 7+ de los otros 21 resultados posibles (podemos lanzar los dos dados y obtener también (1,6) o (6,1))

(1,1) -> 1/36*1/6+1/36*1/6+1/36*21/36

(1,2) -> 1/36*1/6+1/36*2/6+1/36*21/36

Que no es más que 1/36*(números en la fila que están en la diagonal o más allá/6 + números en la columna que están en la diagonal o más allá/6 + 21/36). Efectivamente, el resultado (xy) tiene y posibilidades dentro de la diagonal en la fila y x en la columna. Las posibilidades de acertar repitiendo (xy) son idénticas a las de (yx), por lo que es más fácil contar:

11	21	31	41	51
12	22	32	42
13	23	33
14	24
15

(1,1): 1/36*(1/6+1/6+21/36) = 1/36*33/36

(1,2),(2,1) 2*1/36*(1/6+2/6+21/36) = 1/36*39/36

(1,3),(3,1) 2*1/36*(1/6+3/6+21/36) = 1/36*45/36

(1,4),(4,1) 2*1/36*(1/6+4/6+21/36) = 1/36*51/36

(1,5),(5,1) 2*1/36*(1/6+5/6+21/36) = 1/36*57/36

(2,2): 1/36*(2/6+2/6+21/36) = 1/36*45/36

(2,3),(3,2): 2*1/36*(2/6+3/6+21/36) = 1/36*51/36

(2,4),(4,2): 2*1/36*(2/6+4/6+21/36) = 1/36*57/36

(3,3): 1/36*(3/6+3/6+21/36) = 1/36*57/36

Es decir, con repeticiones tendríamos 145/432 éxitos, por lo que la probabilidad de 7+ repitiendo: 21/36+15/36*145/432 = 0.723. Comparándolo con el resultado de 6+ sin repetición, ¡hemos recortado una pulgada antes de tirar!

El peso de la estadística y la probabilidad en los wargames y la eficiencia de puntos.

Si has llegado hasta aquí pensarás: ¿necesitaré tener todo esto en cuenta a la hora de preparar una estrategia óptima? La respuesta es sí, la estadística y la probabilidad te ayudarán a que tu ejército sea más eficaz y que rinda más por menos. El problema es que no puedes programar una estrategia hasta que no llegas a la mesa de juego: en un juego de dos o más jugadores debes ir adaptando la partida al ritmo que marcan las decisiones de tus oponentes (y aliados). Ninguna ley matemática te salvará de una mala decisión (aunque es posible que haga que el resultado de la decisión no sea desastroso) porque no somos máquinas y las personas tomamos constantemente decisiones no óptimas (por eso no todos tenemos abdominales de acero, un deportivo último modelo o una mansión o la colección completa de Games Workshop) También debes tener en cuenta el azar y la situación de la tirada. Puede ser que la probabilidad de fallar la carga a 4 pulgadas sea del 2.8%, ¡pero no es lo mismo fallarla en la final de un torneo decisivo con puntos igualados que en una partida amistosa donde vas ganando por goleada!

Por último queda la eficiencia de los puntos. Los dados son dados, pero los dados baratos son mejores. Imaginemos esos 10 marines (120puntos) contra los 10 orkos con akribillador (70p). A 18’ los marines eliminan de media 2.77 orkos y los orkos 1.11 marines (con 2 disparos por orko). El marine elimina un promedio 19.39 puntos con un coste de 120 y el orko 13.32 con un coste de 70. Efectivamente, ¡el rendimiento que el marine está consiguiendo disparando sus marines es del 16% frente al 19% del orko con un lamentable 5+ para impactar! A 12’ o menos la situación cambia con el fuego rápido marine, pasando a 32% contra 19%. Obviamente hay un problema con los dados baratos: lo que fácil llega fácil se va, y los marines destrozarán a disparos a los orkos con suficiente tiempo, eliminando la unidad al completo a disparos si el orko mantiene la estrategia de disparo, perdiendo por completo esos 20 valiosos dados mientras que el marine salva a gran parte de sus leales guerreros.

La eficiencia de puntos depende enormemente de nuestra unidad (su coste y su daño) y de la unidad objetivo a la que atacamos. Personalmente, yo prefiero listas de ejército con un número de unidades numerosos (es decir, lleno de dados baratos) y alguna(s) unidad(es) resistentes que aportan tiradas que se mantendrán más o menos constantes a lo largo de la partida. Algunos ejemplos son los ejércitos tipo horda (Orkos, Demonios, Tiránidos con criaturas monstruosas, Guardia Imperial  con vehículos apoyando a la infantería), ejércitos con vehículos de transporte baratos (Drukhari) y los que mezclan unidades de tropa abundantes y baratas con unidades de élite devastadoras (por ejemplo, los Eldar y Tau).

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Si os habéis quedado así, bienvenidos a mi club xD, porque menuda chapa, ideal para la hora de la siesta xD. 

Es broma! Agradecemos a Carlos el currazo que se ha pegado para esta entrada, a ver cuando acaba el confinamiento, que sino no garantizo otra chapa como esta en futuras entradas xD.

Os dejamos un link con los ejemplos que ha usado para este articulo, por si alguno quiere consultarlos mejor:

https://drive.google.com/open?id=1TuKKlWP0Nvz9g6dG6x3ExKdZrUvGmxHk 

Y eso es todo por hoy, a ver hoy el Community si hay o no NEXT WEEK de cara a las ventas del 9 de Mayo, por lo demás.

Un saludo y a cuidarse.